Giovanni là con trai của cựu cầu thủ bóng đá ông Claudio Reyna từng thi đấu cho các câu lạc bộ: Rangers FC, Sunderland, Manchester City, New York Red Bulls, và đội tuyển quốc gia Mỹ[11] còn mẹ anh là bà Danielle Egan, cũng là một cựu cầu thủ bóng đá và từng thi đấu cho đội tuyển nữ quốc gia Mỹ.[12] Reyna sinh ra ở Sunderland, Anh trong thời gian cha của anh đang thi đấu cho câu lạc bộ Sunderland. Reyna bắt đầu sự nghiệp quốc tế của mình bằng cách chơi cho các đội trẻ của Hoa Kỳ, nhưng sau khi gây ấn tượng với Borussia Dortmund, anh ấy đã thu hút sự quan tâm và chú ý từ một số câu lạc bộ tại Bồ Đào Nha, Anh và Argentina, tất cả những nơi mà anh đủ điều kiện để thi đấu. Cuối cùng, mọi suy đoán đã tạm dừng vào ngày 5 tháng 3 năm 2020, khi Sports Illustrated[13] trích lời anh nói “Tôi biết những tin đồn đó, nhưng nó khá rõ ràng đối với tôi. Tôi chỉ muốn chơi cho Hoa Kỳ. Đó là quê hương của tôi."

Tên của Giovanni được đặt theo tên của đồng đội cũ của cha anh từng thi đấu tại câu lạc bộ Rangers là Giovanni van Bronckhorst.[11]